La théorie des essences confortée par les mathématiques

       Comment nous formons-nous les idées que nous avons des êtres (réalités) mathématiques ? Pour les empiristes c’est évidemment à partir de ce que nous percevons : le système décimal, par exemple, ne peut-il être tiré de la contemplation de nos deux mains ? La surface d’une eau tranquille, mer ou lac, ne suggère-t-elle pas l’idée de plan euclidien ; il faut bien sûr en considérer l’extrême surface et donc négliger l’aspect profondeur et surtout la matière même qui est ce qui nous frappe le plus : l’eau c’est d’abord un obstacle à la marche ou une invitation à se baigner, un milieu physique sur lequel le bois flotte et donc les bateaux ; voilà ce dont il faut faire abstraction. Et ce n’est pas tout : le plan euclidien est illimité : donc il faut imaginer le lac sans ses limites, la mer sans le rivage et la ligne d’horizon. Qui aurait donc l’idée de telles abstractions s’il n’avait déjà l’idée de plan euclidien ? Ainsi la perception ne suggère le plan euclidien qu’à celui qui l’a déjà ! ce qui va dans le sens de l’innéisme.

       Le système décimal serait suggéré par la vue de nos dix doigts ? Mais on constate que des peuples que l’on dit « primitifs » (c'est-à-dire dont l’évolution technique est très modeste) ne procèdent pas ainsi : chez les uns on compte avec les doigts d’une seule main et on recommence, chez d’autres avec les doigts d’une main, plus le poignée, plus l’épaule, plus l’autre épaule, l’autre poignée et enfin les doigts de l’autre main. Un tel système ne permet pas ce qu’on appelle une addition, qui consiste seulement à ajouter une unité à la précédente, ce qui peut se faire à l’infini : dénombrer n’est pas encore additionner.


       De fait c’est le domaine des mathématiques qui paraît le plus favorable à la thèse des idées innées que Descartes expose dans la 5ème Méditation. Il y traite en effet  « de l’essence des choses matérielles » ; quant à l’examen de l’existence de ces choses matérielles, il le renvoie, comme nous l’avons vu, à la 6ème Méditation.

       Au niveau de la 5ème Méditation, Descartes est sorti du doute, dans une certaine mesure puisqu’il a pu affirmer « je pense, je suis », « je suis une chose qui pense » (latin : res cogitans) quand bien même je nierai que j’ai un corps ; la 3ème Méditation aboutit à l’affirmation de l’existence de Dieu et la 4ème s’intéresse, comme nous l’avons vu (voir ou revoir « lire Descartes »), au problème de la vérité et de l’erreur sans même avoir prouvé qu’il existe d’autres réalités que moi et Dieu. La 5ème concerne la réalité des essences : « avant de considérer s’il y a des choses (matérielles) en dehors de moi, je dois considérer leur idée en tant qu’elles sont dans ma pensée ». Et deux paragraphes plus loin : « Et ce que je trouve ici de plus considérable est que je trouve en moi une infinité d’idées de certaines choses qui ne peuvent être estimées un pur néant quoique peut-être elles n’aient aucune existence hors de ma pensée », l’exemple qui suit montre que ces « certaines choses » sont des réalités mathématiques. Cela ne saurait nous étonner : Descartes prend constamment la précaution de distinguer l’être mathématique de la représentation graphique que nous nous en faisons : ainsi lors de la première Méditation paraît-il tenté de laisser les mathématiques hors du champ du doute parce qu’elles « traitent de choses fort simples et fort générales, sans se mettre beaucoup en peine si elles sont dans la nature ou si elles n’y sont pas ». Pourquoi selon Descartes ces « choses » ne peuvent elles être « estimées un pur néant » ? Parce qu’elles sont contraignantes comme l’est la réalité : « que je le veuille ou non » et même « encore qu’il n’y ait peut-être en aucun lieu du monde hors de ma pensée une telle figure et qu’il n’y en ait jamais eu », on peut démontrer diverses propriétés du triangle, par exemple « à savoir que ses trois angles sont égaux à deux angles droits, que le plus grand angle est soutenu par le plus grand coté ». Si ces propriétés s’imposent à moi, puisqu’en effet elles sont démontrables, « on ne peut dire que je les ai feintes ou inventées » mais bien que le triangle a « une nature éternelle et immuable ». Il est seulement « en ma liberté de » penser ces réalités « ou de ne les penser pas ». Ainsi les réalités mathématiques prouvent bien qu’il existe un monde de vérités éternelles qu’on peut appeler « formes » selon la tradition scolastique qui distingue forme et matière, ou qu’on peut appeler essences.   



Débuts de l’histoire des mathématiques

       On a dit que l’Histoire a commencé en Mésopotamie (actuellement Irak) parce que l’écriture y a été inventée. Les mathématiques pourraient y avoir été inventées aussi : des tablettes d’argile témoignent qu’on y connaissait l’équation du 2ème degré ; elles témoignent aussi de l’établissement d’un calendrier et donc de connaissances en astronomie. Il est vrai que de cette science on espérait tirer des renseignements sur la destinée (astrologie).
       L’ancienne Egypte aussi a cultivé les mathématiques. A-t-elle emprunté à Sumer c'est-à-dire à la Mésopotamie ? C’est vraisemblable. Les mathématiques y ont une forme utilitaire, servant à l’arpentage (retrouver les champs après la décrue du Nil ?) et aux constructions funéraires grandioses que sont les Pyramides.

       Les Grecs mettront un esprit plus spéculatif à l’étude des mathématiques dont ils empruntent sans doute les premières données aux deux autres civilisations : on parle de voyage de Thalès en Egypte et en Mésopotamie. Pendant longtemps ils procèderont d’une manière quelque peu pragmatique, un peu étonnante pour qui a été formé au XXème siécle dans nos écoles où on se proposait d’apprendre aux enfants non seulement les mathématiques mais l’exercice rigoureux d’une logique déductive : tout théorème doit être démontré c'est-à-dire prouvé à partir d’autres théorèmes déjà démontrés.
       Une telle exigence ne pouvait apparaître du premier coup : il fallait qu’il y eût d’abord quelques propositions établies pour en tirer d’autres, et ces propositions étaient établies à partir de réflexions quelque peu pragmatiques. Ainsi Thalès, le monsieur des propriétés des triangles semblables, donna-t-il cette « recette » pour mesurer les Pyramides : « quand l’ombre de Thalès est égale à Thalès l’ombre des Pyramides est égale aux Pyramides ». Dans « le Ménon », dialogue de Platon, on peut voir comment on procédait couramment : Socrate interroge un jeune esclave, enfant qui n’a donc pas été instruit par un pédagogue, et lui fait découvrir le rapport entre l’hypoténuse et les cotés du triangle rectangle ; ils procèdent par une succession d’hypothèses de constructions dessinées à même la terre et par tâtonnements arrivent à la solution (à savoir le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés).





       Les  Grecs ont été amoureux d’une science qui impose la vérité avec rigueur et les mathématiques ont connu chez eux un succès considérable. Entre le 6ème et le 3ème siècles avant Jésus Christ, se développent deux « écoles » : celles de Thalès de Milet (ville de la côte occidentale turque actuelle) et celle de Pythagore, mathématicien grec originaire de l’île de Samos. Le terme d’ « école » recouvre moins une relation de maître à élève qu’une communauté de pensée, de vision de l’univers entre ceux qui s’y rattachent : l’école de Thalès s’interroge sur la terre, sa géographie (Anaximandre par exemple), sa composition c'est-à-dire la recherche de l’élément dominant parmi les 4 reconnus : air, terre, eau et feu. Les pythagoriciens, quant à eux, développent les mathématiques dans une perspective quelque peu mystique en présumant des prérogatives de certains nombres.
       Ainsi se développent les mathématiques en Grèce (c'est-à-dire de la côte ouest turque actuelle à la Sicile dite Grande Grèce et au Sud de l’Italie) du 6ème siècle au 3ème siècle avant Jésus-Christ et les découvertes en seront assez nombreuses pour qu’Euclide décide de les organiser dans un système déductif où les théorèmes découlent les uns des autres à partir de définitions premières. Ce véritable système logique est admiré à juste titre pendant des siècles comme un modèle de rigueur.


Les propositions premières

       Cependant, à la 29ème proposition, Euclide se trouve bloqué pour démontrer les suivantes. Il lui faut alors avancer une proposition qu’il est incapable de démontrer et demande donc qu’on la lui accorde afin de pouvoir continuer ; il s’agit du postulat d’Euclide : « dans un plan par un point pris hors d’une droite, il ne passe qu’une seule parallèle à cette droite ». Ainsi au point de départ de la géométrie il faut admettre non seulement des définitions – ce qui semble aller de soi car il faut bien savoir de quoi l’on parle – mais aussi ce type de proposition qu’on appelle postulat : il s’agit de propositions portant sur des rapports qu’on n’a pu démontrer entre des réalités ou êtres mathématiques, propositions sans lesquelles le développement du système est impossible. On peut ajouter d’ailleurs aux propositions premières, définitions et postulat(s), les axiomes c'est-à-dire des propositions dont on se sert, explicitant les propriétés générales de la quantité, par exemple : «  deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles » ; ce sont là des propositions opératoires : dans l’exemple que nous avons choisi cet énoncé permet des comparaisons à l’aide d’un intermédiaire. Il y aurait donc trois types de propositions premières : définition, axiome et postulat, toutes les autres étant des propositions secondes c'est-à-dire des théorèmes démontrés.

       La distinction entre propositions premières et propositions secondes n’a rien qui puisse choquer le bon sens : comme le dit Descartes, on ne peut construire un édifice que sur des fondements solides (1ére partie du Discours de la Méthode) et c’est bien pourquoi le philosophe prit les mathématiques comme fondement « de tout ce qui peut tomber sous la connaissance des hommes » (Discours 2ème partie : commentaire par Descartes lui-même
Des règles de sa méthode). Le système d’Euclide apparaît comme un édifice solidement construit… ne serait-ce ce postulat introduit en cours de construction pour les besoins d’une démonstration. En effet définitions et axiomes paraissent évidents : n’est-il pas évident que la droite est le plus court chemin d’un point à un autre, que le tout est plus grand que la partie ?      Par contre il ne va pas de soi que  « dans un plan, par un point pris hors d’une droite il ne passe qu’une seule parallèle à cette droite ». C’est même si peu évident (étymologiquement : qui se voit) que bien des mathématiciens ont essayé de le démontrer. En vain. Pourtant la géométrie euclidienne est vraie : en effet, à cela près, elle est rigoureusement logique ; de plus elle s’applique en physique : par exemple l’optique que fonde Descartes l’utilise constamment. En somme la physique donne comme l’épaisseur d’un contenu réel au système formel d’Euclide. C’est cette coïncidence entre l’aspect formel de la vérité et son aspect « contenu » qui est au fondement de la physique classique et de la conception classique du vrai ; on la retrouve chez tous les cartésiens. Et quoi de plus satisfaisant pour l’esprit ? Dieu, nous dit Descartes, crée un monde éternel des essences et organise la réalité matérielle à partir de ce monde sous la forme des lois physiques.


Les géométries non euclidiennes
  
       Si toutes les démonstrations directes du postulat d’Euclide ont échoué, c’est la démonstration indirecte qui va tout remettre en question. L’idée vient de Lobatchevski (mathématicien russe 1792-1856) : et si on utilisait la démonstration par l’absurde ?  Constatons qu’une telle entreprise témoigne de la confiance que l’on avait dans la vérité de cette proposition. En affirmant que par un point pris hors d’une droite il passe plusieurs parallèles à cette droite, ne devrait-on pas se trouver devant une absurdité c'est-à-dire une impossibilité logique. Or il n’en est rien : à la recherche de cette contradiction, Lobatchevski développe un système cohérent dans lequel la démarche déductive n’est jamais bloquée mais dont les énoncés sont différents de ceux d’Euclide : la somme des angles du triangle n’est plus égale à 2 angles droits mais toujours plus petite. En 1826 il publie ses premières remarques sur les principes de la géométrie et la théorie des parallèles ; en 1855, devenu aveugle, il dicte un exposé complet de son système sous le nom de « Pangéométrie ou géométrie imaginaire ».
       D’autres entreprises sont faites d’ailleurs dans le même sens par Gauss (mathématicien, physicien et astronome allemand 1777-1856), mais peut-être sous l’influence de Jean Bolay, mathématicien hongrois (1802-1860) qui en 1823 signale à son père qu’il a terminé un travail Sur les parallèles : « j’ai découvert des choses si magnifiques que j’en suis moi-même étonné ; du néant j’ai entièrement créé un nouvel univers » ; et pourtant il n’exploite guère sa découverte, les dernières années de sa vie étant occupées par une brouille grave avec son père. Ainsi sont les hommes : celui qui est handicapé par la cécité conduira son œuvre à bien tandis que l’autre, handicapé par la passion la laisse se perdre !

       Une autre hypothèse n’a pas été encore énoncée : « par un point pris hors d’une droite il ne passe aucune parallèle à cette droite », c’est celle de Riemann (mathématicien allemand 1826-1866 ; constatons qu’en ce temps là les vies sont brèves et que pour laisser quelque chose il ne fallait pas perdre le temps fécond de la jeunesse). Il fallait un certain culot pour affirmer une telle proposition puisque l’élaboration de la géométrie d’Euclide semble bien témoigner du contraire d’autant qu’elle a des applications en physique ; cela nous apprend au moins que dans le postulat d’Euclide on peut voir deux affirmations : celle de l’unicité de la parallèle niée par Lobatchevski et Bolay, celle de l’existence niée par Riemann dont l’ouvrage posthume parait en 1867. La deuxième moitié du 19ème siècle est donc un tournant pour l’histoire des mathématiques. La géométrie d’Euclide garde un certain primat du fait que la physique lui donne un contenu concret qui paraît réaliser l’accord de la forme logique et de la matière. Elle perd ce privilège de l’application avec Henri Poincaré (mathématicien français 1854-1912, cousin de l’homme politique) qui, trouvant la géométrie euclidienne mal commode dans certains de ses travaux, aura recours à celle de Riemann ; « une géométrie, écrira-t-il, n’est pas plus vraie qu’une autre, elle seulement plus commode ». Désinvolture ?

                                                                          

Qu’appelle-t-on vérité en mathématiques ?
                                                                            
       En fait si une géométrie n’est pas plus vraie qu’une autre, elle ne doit pas être moins vraie, c'est-à-dire moins rigoureuse : il s’agit là de l’aspect formel de la vérité. Les classiques avaient été frappés de l’accord entre vérité de forme (logique) et vérité de contenu c'est-à-dire concordance avec la réalité vérifiable, si on peut dire matérielle, que constitue l’utilisation des mathématiques à l’astronomie et à la physique. On retrouve cette même dualité du vrai en pédagogie : lorsqu’on enseigne que la somme des angles du triangle, de n’importe quel triangle, est égale à deux angles droits, le réflexe normal de l’élève est de vérifier avec un rapporteur, instrument qui n’entre pas dans la démonstration. On sait que celle-ci procède à l’aide d’une construction : on prolonge un coté du triangle, par exemple BC devient BCC’, et l’on construit une parallèle D’à BA passant par C ; cette construction permet d’appliquer le théorème sur l’égalité des angles des parallèles coupées par une sécante : ainsi l’angle A du triangle peut être affirmé égal à l’angle ACD’, AC étant la sécante qui détermine des angles alternes internes égaux formés avec les parallèles AB et CD’ ; les mêmes parallèles forment des angles correspondants et donc égaux : l’angle B du triangle et l’angle D’CC’ . Bien sûr la démonstration implique celle qui concerne l’égalité des angles formés par des parallèles coupées par une sécante ; chaque proposition de l’édifice logique implique qu’on ait démontré préalablement les théorèmes dont on se sert. La démarche intellectuelle est donc très différente de celle de l’élève pour qui la somme de deux angles droits correspond à 180° (un angle plat) : cet angle plat a été construit en C simplement en prolongeant le coté BC et en inventant une construction qui permet de faire apparaître des angles égaux aux angles dont on cherche la somme.






       Mais la géométrie euclidienne est constamment sous tendue par la perception visuelle et cela dès ses définitions: dire que la ligne droite est le « plus court chemin d’un point à un autre », c’est faire appel à l’expérience sensible de la vue ou même de la marche ; tant qu’à faire on peut lui préférer la définition « la droite qui repose également sur tous ses points » ! Si la géométrie euclidienne correspond si bien à l’expérience sensible c’est qu’elle en est issue. Les géométries euclidiennes sont venues tardivement parce qu’elles ne sont pas sorties du sensible mais d’abord de la volonté de démontrer le postulat d’Euclide : le démontrer par l’absurde c’était postuler que le nier était impossible, c'est-à-dire que réellement, dans un plan par un point pris hors d’une droite il ne peut passer qu’un seule parallèle à cette droite ; ce que toute la physique classique confirme semble-t-il.

       Or en niant qu’il y ait une seule parallèle (unicité) ou même qu’il en existe une (négation de l’existence), on peut parfaitement construire une autre géométrie : dans le premier cas la somme des angles du triangle est inférieure à 2 angles droits, dans le 2ème plus grande. Qu’en est-il en réalité ? Où est donc cette « essence déterminée de cette figure (…) immuable, éternelle, que je n’ai point inventée » dont Descartes nous parle dans la 5ème Méditation ? Où est ce réel contraignant  dont « on peut démontrer diverses propriétés (…) lesquelles maintenant, soit que je le veuille ou non, je reconnais très clairement et très évidemment être en lui » ?  Pour purement intelligible qu’il soit, ce monde des essences a encore trop de réalité sensible, on peut d’ailleurs se demander quel est le sens d’un monde intelligible qui accepte toutes ces contradictions.
       C’est que la notion d’évidence, si importante dans la théorie de la vérité chez Descartes, est très ambiguë ; elle l’est d’ailleurs étymologiquement : l’évidence c’est ce qui se voit avec la clarté de la raison mais aussi avec celle de la vue. Les géométries non euclidiennes sont difficiles à se représenter par la vue : elles sont purement logiques c'est-à-dire formelles.
      
       Est-ce à dire que la géométrie euclidienne n’est pas logique ? Non, si on la formalise et qu’on ne considère pas le postulat d’Euclide comme énonçant une vérité de fait mais un choix arbitraire du mathématicien à partir duquel se tirent certaines conséquences qu’on appelle théorèmes. Autrement dit, les propositions premières sont toutes des propositions arbitraires, librement choisies par le mathématicien, nous dit Poincaré. Ce libre choix est valable (bon) s’il permet de développer un système, c'est-à-dire s’il apparaît au développement logique qu’il n’y avait pas de contradiction implicite entre les propositions premières choisies et s’il est fécond c'est-à-dire si le développement logique ne s’arrête pas prématurément : au système qu’Euclide a trouvé et mis en ordre il manquait une proposition pour qu’il soit fécond, celle qu’il a inventée.

       Cependant il ne faut pas croire que c’est de droit qu’une proposition est « première » : il y a interdépendance entre les propositions d’un système de telle sorte que le postulat d’Euclide peut être démontré à condition bien sûr de ne pas le prendre comme proposition première, mais d’en choisir une autre. On ne considère d’ailleurs plus aujourd’hui qu’il faut distinguer entre définition, axiome et postulat aussi toutes les propositions premières sont-elles appelées « axiomes » et leur ensemble axiomatique ; ce qu’on appelle postulat d’Euclide définit le plan euclidien qui est celui qui correspond à notre perception visuelle. C’est pourquoi vraisemblablement cette géométrie est apparue la première : c’est la plus proche de notre perception. Sa valeur pédagogique est indéniable : elle éduque l’esprit à un degré élevé d’abstraction à partir du perçu. Commencer les mathématiques comme un pur jeu formel c'est-à-dire de logique sans contenu, comme on a prétendu le faire dans l’enseignement secondaire français, allait dangereusement contre la nature humaine qui n’est ni un pur esprit, ni un ordinateur. La pédagogie ne peut être bonne si elle ne prend pas les enfants des hommes comme ils sont : dotés de sens comme les vertébrés en général et capables d’abstraire.            

                                                                           


Effort pour éradiquer le sensible

       L’idée d’un jeu purement formel, c'est-à-dire sans contenu aucun, est une idée étrange ; il s’agit d’un jeu de rapports non pas entre des choses mais entre des rapports. La présentation  de l’axiomatisation de l’arithmétique en 5 propositions par Peano (mathématicien et logicien italien 1858-1932) en témoigne :

1 Zéro est un nombre
2 Le successeur d’un nombre est un nombre
3 Plusieurs nombres quelconques ne peuvent avoir le même successeur
4 Zéro n’est le successeur d’aucun nombre
5 Si une propriété appartient à zéro et si, lorsqu’elle appartient à un nombre quelconque, elle appartient aussi à son successeur, alors elle appartient à tout les nombres (principe de récurrence ou d’induction).

Comme on le voit les deux concepts dominants de cette axiomatique sont « nombre » et « successeur de », ce dernier terme est à prendre en son sens strict purement relationnel et sans référence sournoise au langage usuel « un tel successeur de son père ». Le nombre étant défini comme successeur d’un nombre, il est difficile de savoir intuitivement ce qu’est un nombre ! La numération des peuples qui utilisent les mains, par exemple, pour compter paraît nettement plus claire mais ce n’est pas de l’arithmétique comme nous l’avons vu.
La proposition 4 signifie que l’opération
1 - 2
 est exclue : les nombres négatifs sont donc exclus de cette axiomatique qui ne concerne que les nombres positifs.
Remettons à plus tard l’examen du principe d’induction qui apparaît bien ici comme une sorte de convention due à l’arbitraire du mathématicien.

Si on veut avoir l’idée d’une formalisation de la géométrie on peut moduler le postulat d’Euclide :

« dans un plan par un point pris hors d’une droite il passe n parallèle(s) à cette droite »
   Si n=1 nous sommes en géométrie euclidienne
   Si n=0 nous sommes dans la géométrie de Riemann

Le terme même de « proposition » que nous avons utilisé fait référence au langage courant, puisque c’est une notion grammaticale. La formalisation se méfie de toute référence de ce genre qui renvoie sournoisement à l’expérience sensible. On peut les éviter en utilisant la  théorie des ensembles, ainsi :

« par un point A pris hors d’une droite D » peut s’écrire « par un point A n’appartenant pas à une droite D » (c'est-à-dire à l’ensemble des points de la droite D)
« il passe une parallèle D’ à cette droite » peut s’écrire « A appartient à D’// D »
« il existe 1 parallèle à cette droite » (géométrie euclidienne)
« il n’existe pas de // à cette droite » (géométrie de Riemann)

La symbolique de la théorie des ensembles permet d’éliminer toute référence au langage usuel avec ce qu’il comporte de référence sournoise au sensible, que l’on n’a vue d’ailleurs que tardivement dans la géométrie euclidienne, tant cela paraissait aller de soi, « évident » comme disait Descartes.
Cette symbolique permet aussi et ainsi d’avoir un « langage » international, puisque complètement déconnecté du langage usuel, avec des règles d’utilisation rigoureusement établies, ce qui n’est le cas dans aucune autre langue historique … et en fait souvent le charme !
                                                                     


Le dédoublement de la notion de vérité : contenu et forme

       Doit-on s’arrêter en si bon chemin ? Non car si les axiomes doivent être tous énoncés au point de départ de la théorie ne doit-on pas y inclure les règles de la logique puisque l’on va aussi s’en servir ? Et si les axiomes relèvent d’un libre choix pourquoi pas les règles de la logique ? Par exemple ne peut-on nier le principe de non contradiction ?
       Nous sommes là dans le domaine dit de « la métamathématique ». On comprend l’émerveillement de Jean Bolay : « du néant j’ai entièrement créé un nouvel univers », néant plus parfaitement néant que le voyait Jean Bolay puisqu’il porte sur…rien et aboutit à un prodigieux développement de la science.
       Pendant deux siècles la théorie cartésienne des essences est en harmonie avec l’évolution de la science : il paraît rationnel que Dieu ait créé un monde de vérités mathématiques à partir duquel il établit un ordre du monde physique et en permette ainsi la connaissance par l’homme. Au 19ème siècle la découverte de géométries non euclidiennes conduit à remettre en question ce monde des essences : si la somme des angles d’un triangle est tantôt égal à 2 angles droits, tantôt moins, tantôt plus selon le postulat choisi, c’est la fin de cette réalité purement intelligible contraignante dont Descartes croyait pouvoir affirmer l’existence : la contradiction s’installant dans le « monde intelligible » le rend absurde, donc inutile. Que reste-t-il de la vérité en mathématique : une pure forme vide de tout contenu, qui vaut par la cohérence du système. Mais comment sait-on qu’un système est cohérent ? Quand on n’y rencontre aucune contradiction après l’avoir totalement développé. Mais sait-on jamais si on a totalement développé un système. . .

       L’harmonie entre la vérité de contenu et la vérité de forme, on le voit, a disparu. Seule la vérité formelle, c'est-à-dire la cohérence, demeure en mathématiques et encore faudrait-il être sûr que le système est achevé pour être sûr qu’aucune contradiction n’apparaîtra. Aussi Bertrand Russell (mathématicien et philosophe anglais1872-1970) peut-il plaisanter : « En mathématiques on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu’on dit est vrai ! » ; c’est parce que, au niveau de l’enseignement secondaire les mots semblent renvoyer à des choses, comme chez les Grecs anciens, qu’on croit savoir « de quoi on parle » mais, comme le disait un autre mathématicien, on pourrait remplacer « plan, droite, point » par bol, table, chaise puisque ce qui importe ce n’est pas le contenu évoqué mais les rapports décidés librement par le mathématicien entre les termes ou plutôt les signes utilisés dans l’axiomatique. Les mathématiques sont donc une science formelle qui ne porte plus sur la vérité d’aucun contenu.

       Il est évident qu’une telle révolution dans la manière de considérer la vérité ne pouvait laisser la philosophie indifférente, d’autant que la question du rapport entre vérité formelle et vérité de contenu se trouve posée avec acuité par le progrès des sciences qui expriment les lois en termes mathématiques et qui elles-mêmes connaissent une évolution fulgurante.


OUVRAGES UTILISES :


   « L’axiomatique » de Robert Blanché (P.U.F. collection initiation philosophique)

   « L’histoire de la science des origines au XX ème siècle » ( Encyclopédie de la Pléïade,
      N. R. F. Gallimard 1957. On y trouve d’impressionnantes biographie de mathématiciens, vies courtes extrêmement remplies : Lobatchevski meurt à 64 ans, Jean Bolay à 58 ans, Riemann à 40, Poincaré à 58 et le norvégien Abel à 27 ans qui vécut dans la misère et dont l’œuvre principale, un Mémoire déposé à l’académie des sciences n’est publié que quinze ans après qu’il ait quitté Paris !)

    Et notre ami Descartes, surtout le texte ci-joint de la 5ème Méditation, qui nous permet de mieux comprendre les moments charnières de l’esprit scientifique occidental.

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