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TEXTE
DE PASCAL : CORRIGE
Pascal, comme Descartes, voit dans la
géométrie le modèle de toute science,
« de toute démonstration
convaincante », mais il semble qu’il soit plus circonspect
que son aîné en
ce qui concerne le fondement de ce modèle : les
propositions premières,
base du développement du système.
En effet, quelque soit l’excellence de
la méthode géométrique, elle présente une
sorte de faille sur le plan logique
si on la compare à « cette véritable
méthode (…) qui consisterait en deux
choses principales : (…) n’employer aucun terme dont on
n’eût auparavant
expliqué nettement le sens (…) n’affirmer aucune
proposition qu’on ne
démontrât par des vérités déjà
connues » : Pascal voit bien que le
point contestable du système géométrique
réside dans les propositions premières,
définitions et postulats. Une vraie définition
suppose que le défini soit
« nettement » précisé ; cela
implique que les mots utilisés dans
la définition aient été eux-mêmes
définis, mais ainsi on remonte à l’infini
« car les premiers termes que l’on voudrait définir
en supposeraient de
précédents pour servir à leur
explication » et ceux-là mêmes devraient
être expliqués et ceci à l’infini: on comprend
pourquoi « la méthode
est belle mais impossible » ! De même les
mathématiques admettent à
leur fondement parmi les propositions premières, les postulats
qui, comme le
postulat d’Euclide, ressemblent à des théorèmes,
et devraient, en bonne logique
être prouvés par « d’autres qui les
précédassent » et pour lesquelles
il faudrait avoir les mêmes exigences, et donc les prouver
également mais
« ainsi il est clair qu’on n’arriverait jamais aux
premières » ;
les propositions premières du système
géométrique lui paraissent donc manquer
de justification irrécusable. Ainsi tout en proposant la
méthode géométrique
pour modèle, Pascal constate qu’il y a « une
méthode plus éminente où les hommes
ne seraient jamais arrivés »; est-ce à dire
qu’ils n’y arriveront
jamais ? En ce monde, sûrement, puisqu’il l’explique par une
déficience de
l’esprit des hommes « car ce qui passe la
géométrie nous surpasse » ;
cela signifie sans doute qu’un entendement infini, celui de Dieu, ne
connaît
pas un tel obstacle et peut embrasser une définition incluant
les définitions
de l’infinité des termes servant à définir les
précédents, et une démonstration
des postulats incluant à l’infini les démonstrations
précédentes, comme le
pensera Leibniz. Aussi cette « méthode plus
éminente et plus accomplie » est-elle
exposée au conditionnel car elle est
pour nous « impossible à pratiquer. »
Comme on le voit l’esprit rigoureux de Blaise
Pascal a fort bien saisi, dès le 17ème
siècle, le problème
épistémologique essentiel des
mathématiques : celui des propositions premières. Si
l’on considère les
définitions qui servent de base à la
géométrie, il est vrai qu’elles ne sont
guère satisfaisantes logiquement : le point est
défini comme intersection
de deux droites, mais la droite peut être définie comme
ensemble de points :
les deux définitions renvoient l’une à l’autre alors
qu’il
faudrait « n’employer aucun terme dont on n’eût
auparavant expliqué
nettement le sens » : ce n’est donc pas le cas ;
on peut aussi définir
la droite comme « le plus court chemin d’un point à
un autre » mais s’agit-il
là d’une définition purement logique: n’est-ce pas une
référence au sensible,
c’est-à-dire une référence empirique ? Les
mêmes questions se posent pour
les axiomes, propriétés générales de la
quantité : lorsqu’on enseigne
l’axiome « le tout est plus grand que la partie »
on est tenté
d’utiliser l’image d’un gâteau dans lequel on couperait une part,
opération qui
ne relève pas de la logique mais qui sert seulement
d’illustration sur le plan
pédagogique. Quant au postulat d’Euclide, il se présente
purement et simplement
comme un théorème que le mathématicien grec, ni
aucun autre il est vrai, n’était
parvenu à démontrer.
* *
C’est avec sa
théorie des idées innées que
Descartes résout ce problème : Dieu met en nous,
sous forme d’idées
innées, les vérités premières à
partir des quelles nous pouvons par déduction
découvrir ces vérités secondes que sont, selon
lui, les théorèmes. Les idées
innées sont donc les copies de vérités
éternelles qui rendent possible de
découvrir l’ordre entier du monde intelligible, ou monde des
essences créées
par Dieu. Cette conception résout la question de la
régression à l’infini dont
Pascal souligne l’impossibilité. Est-ce vraiment
injustifié ? C’est bien
ainsi que nous procédons dans le cours ordinaire de la
vie : lorsque nous
parlons, nous ne nous croyons pas obligés de définir
chacun des termes que nous
utilisons ; Descartes lui-même, dans la 2ème
Méditation, a récusé
ce procédé de la définition, cher à la
scolastique : si je définis l’homme
comme animal raisonnable, il me faudra - écrit-il -
définir les deux termes par
des mots qui, à leur tour, devront être définis et
ceci à l’infini. D’accord
sur l’impossibilité de la régression à l’infini,
les deux philosophes sont en
désaccord lorsqu’il s’agit d’en appliquer le principe aux
mathématiques :
pour Descartes les mathématiques renvoient à un monde de
réalités, certes
purement intelligibles, mais dont nous avons en nous, selon lui, les
premières
idées sous forme d’idées innées, ce qui nous
assure d’être dans le vrai si nous
procédons par ordre en allant d’idée claire et distincte
en idée claire et
distincte. Mais pour Pascal, entre le formalisme qui régit les
démonstrations et
l’aspect purement affirmatif des propositions premières, il y a
une coupure
logique dans la manière de penser la vérité
mathématique et il ne l’admet
pas : pour lui il existe entre les notions premières des
rapports de même
type que les rapports que les démonstrations mettent en
évidence. Au quel des
deux l’histoire des mathématiques va-t-elle donner raison ?
Le postulat
d’Euclide apparaît chez Euclide lui-même comme une
démonstration qu’il ne
réussit pas à élaborer et il demande qu’on le lui
accorde pour qu’il puisse
effectuer la suite des démonstrations de sa
géométrie. D’autres mathématiciens
se sont essayés en vain à la démonstration de ce
postulat ; au 19ème
siècle le mathématicien russe Lobatchevski entreprend une
démonstration par
l’absurde : c’est dire qu’il est sûr que ce postulat est
vrai et qu’on ne
saurait le nier sans aboutir à une contradiction. Or loin
d’arriver à cette
contradiction, il développe un système tout à fait
cohérent mais dont les
propositions, il est vrai, sont en contradiction avec les propositions
d’Euclide.
Cela remet en question, bien évidemment la conception
cartésienne des essences,
vérités premières éternelles dont Dieu met
en nous, sous forme d’idées innées, quelques
copies nécessaires pour découvrir l’ordre entier des
essences ; l’idée
mathématique renvoie donc à un contenu
réel tel que Descartes peut écrire dans la 5ème
Méditation
« que je le veuille ou non, chaque fois que je
considère un triangle je
suis obligé de reconnaître que la somme de ses angles est
égale à deux droits,
que le plus grand angle fait face au plus grand
coté » : ce sont là
des propriétés du triangle qui le caractérisent
comme toute chose est
caractérisée par ses propriétés. Or dans la
géométrie de Lobatchevski la somme
des angles d’un triangle n’est pas égale à deux droits.
Tandis que Lobatchevski avait
nié qu’il y eût,
dans un plan, une seule parallèle à une droite,
après lui Riemann nie
l’existence de quelque parallèle que ce soit à une droite
dans un plan et à son
tour développe une nouvelle géométrie
cohérente, mais dont les propositions
sont en contradiction avec celles de la géométrie
d’Euclide et celles de
Lobatchevski. Astronome et mathématicien, Poincaré
utilise avec succès la
géométrie de Riemann, et en tire cet enseignement :
« une géométrie n’est pas
plus vraie qu’une autre, elle est seulement plus commode ».
Est-ce pour autant
confirmer les exigences
de Pascal ? Sur le plan logique, ces trois
géométries se valent
puisqu’elles sont cohérentes, bien que, sur le plan du contenu,
les théorèmes soient
en contradiction de l’une à l’autre. Le primat historique de la
géométrie
euclidienne tient au fait qu’elle est la plus proche de notre
perception
visuelle, d’où son double caractère apparent de
vérité, à la fois formelle et
de contenu : notre perception la vérifie constamment et
c’est pourquoi
Descartes y voit un monde d’essences ; en fait ce qu’il appelle
des
essences ne sont pas des modèles, réalités
éternelles dont les idées vraies
seraient des copies ; les « essences » ne
sont au contraire que
des copies épurées de notre perception visuelle.
Poincaré constate que, par les
modifications du postulat d’Euclide, on a défini d’autres
plans : le plan
de Riemann, celui de Lobatchevski sont différents du plan
euclidien et
différents entre eux ; les propositions premières
remarque donc Poincaré
sont « des définitions et des conventions
déguisées » ; le
postulat n’est donc pas, comme on le croyait, un théorème
qu’on n’a pas su
démontrer mais une proposition vraiment première sans
laquelle il n’y aurait
pas eu de système. Elles ne sont d’ailleurs pas premières
par nature : on
pourrait démontrer le postulat d’Euclide en choisissant comme
première telle
autre proposition du système : toutes les propositions d’un
système sont
liées entre elles. Autrement dit, il faut un minimum de
propositions premières,
bien choisies, pour que le mathématicien puisse
développer un système ;
Euclide eut le génie de découvrir une proposition qui
manquait pour que le
développement du système qui porte son nom soit possible.
Le mathématicien est
donc libre du choix de ses propositions premières, à
condition que les
propositions choisies permettent le développement d’un
système logique fécond,
c’est-à-dire qui ne se bloque pas prématurément.
Ainsi, contrairement à ce que croyait
Pascal, les définitions et les propositions premières
n’ont pas à être définies
ou prouvées par une régression à l’infini :
« cette méthode plus
éminente et plus accomplie », qui serait celle d’un
entendement infini n’a
pas lieu d’être si les propositions premières (ou
axiomatique) sont choisies
« librement » par le mathématicien, comme
nous le dit Poincaré, sous
réserve que la déduction qui en résulte ne donne
lieu à aucune contradiction. Leur
vérité c’est l’affirmation d’une compatibilité
logique entre elles qui est
démontrée a posteriori par la possibilité
d’engendrer un système cohérent et
fécond. Une telle exigence implique qu’on est sûr d’avoir
totalement développé
le système, or on n’est jamais sûr d’avoir achevé
un système
mathématique !
Pascal a mieux saisi que Descartes la
nature des propositions premières : elles expriment des
relations purement
logiques dont les théorèmes découlent ; ce
qu’il n’a pas vu c’est que
le système est purement
conventionnel ; il l’a pensé comme système de
relations réelles que seul un
entendement infini pouvait l’embrasser.
Pascal apparaît plus proche que Descartes de
l’épistémologie mathématique
moderne et pourtant il reste marqué par un certain
réalisme de l’intelligible lorsqu’il
affirme que « en poussant les recherches de plus en plus, on
arrive
nécessairement à des mots primitifs qu’on ne peut plus
définir » : aujourd’hui,
en mathématiques la formalisation est telle qu’il ne s’agit pas
de
« mots » car ceux-ci renvoient toujours
à un contenu qui, en
dernier ressort, est intuitif voire perceptif ; or les
mathématiques n’ont
plus vraiment de contenu : c’est un jeu de pures relations dont
les règles
sont posées au départ sous forme d’axiomes. Cette
axiomatique comporte
aussi les règles de maniement auxquelles le mathématicien
doit obéir : c’ est
en quelque sorte un système logique en puissance dans lequel on
récuse toute
référence à la perception. Dire que
« dans un plan, par un point pris hors
d’une droite, il ne passe qu’une parallèle à cette
droite », c’était
solliciter la perception visuelle. Or on peut très bien
écrire la même
« proposition » en terme de théorie des
ensembles : soit un plan
P, soit D une droite qui appartient à ce plan P et un point A
qui appartient à
P et n’appartient pas à D, il existe une droite unique D’
appartenant à P, parallèle
à D et à laquelle A appartient (postulat d’Euclide), ou
il n’existe pas D’
parallèle à D (postulat de Riemann), ou il existe 2
droites, D’ et D’’. On
gagnerait même à écrire « il existe n
droite(s) » en donnant ultérieurement
à n la valeur que l’on veut ! Cette manière de
penser utilise même un
système de symboles, celui de la théorie des ensembles,
qui permet d’éviter
d’écrire des propositions en leur substituant des symboles pour
signifier
« il existe »
« appartient » « n’appartient
pas »
etc : les mathématiques deviennent un pur langage formel et
universel dans
lequel le mathématicien n’a plus affaire qu’à un
système de signes dont les
règles sont si rigoureusement établies qu’elles peuvent
être gérées quasi
mécaniquement.
Nous ne sommes plus dans la
manière de penser
les mathématiques ni de Descartes, ni de Pascal. Tant qu’il n’y
avait qu’une
seule géométrie et qu’on n’imaginait pas qu’il pût
y en avoir une autre, le
fait d’exprimer les lois de la nature en langage mathématique
incitait à penser
que la science connaissait le réel tel qu’il est. En fait
l’évolution de la
notion de vérité en mathématiques, entre
Lobatchevski et Poincaré, a bouleversé
notre manière de concevoir toute connaissance scientifique et
nous a fait
perdre ce réalisme heureux des 17 et 18èmes
siècles. A sa manière déjà cette
réflexion de Pascal perturbe cette
sérénité.
Remarque sur la
structure de
cette explication de texte. Elle
comporte :
Une très
brève
introduction qui cible le sujet
I
L’explication du
texte : explicitation
Justification
de cette interprétation
II Autre
solution
du problème posé par Pascal : celle de
Descartes
Différence entre Pascal
et Descartes dans la manière de concevoir les propositions
premières
III
Comment
l’histoire des mathématiques a tranché :
1)
elle
récuse le réalisme cartésien de la théorie
des essences
2)
elle
ne confirme pas le réalisme logique de Pascal
3)
mieux
que Descartes, Pascal a vu le rapport entre propositions
premières et théorèmes
Conclusion